د ریاضیاتو غیر واقعی نړۍ ته سفر

ما دا مقاله د کمپیوټر ساینس پوهنځی کې د لیکچر او تمرین وروسته په یو چاپیریال کې لیکلې وه. زه د دې ښوونځي د زده کونکو د نیوکو، د هغوی د پوهې، ساینس سره د چلند او تر ټولو مهم، د دوی د تدریس مهارتونو څخه دفاع کوم. دا ... هیڅوک دوی ته درس نه ورکوي.

زه ولې دومره دفاعي یم؟ د یو ساده دلیل لپاره - زه په هغه عمر کې یم کله چې، شاید، زموږ شاوخوا نړۍ لا تر اوسه نه پوهیږي. کیدای شي زه دوی ته د اسونو د کارولو او بې کاره کولو درس ورکوم، او د موټر چلولو نه؟ شاید زه دوی ته د کویل قلم سره لیکل زده کړم؟ که څه هم زه د یو کس په اړه ښه نظر لرم، زه خپل ځان "پیروي" ګڼم، مګر ...

تر دې وروستیو پورې، په لیسه کې، دوی د پیچلو شمیرو په اړه خبرې کولې. او دا د چهارشنبه په ورځ وه چې زه کور ته راغلم ، پریښودم - نږدې هیڅ یو زده کونکي لاهم نه دي زده کړي چې دا څه شی دی او دا شمیرې څنګه کارول کیږي. ځینې ​​یې ټول ریاضي ته داسې ګوري لکه په یوه رنګ شوي دروازې کې د غوز. مګر زه په ریښتیا هم حیران وم کله چې دوی ما ته وویل چې څنګه زده کړه وکړم. په ساده ډول ووایاست، د لیکچر هر ساعت دوه ساعته کورنی کار دی: د درسي کتاب لوستل، زده کړه چې څنګه په یوه موضوع کې ستونزې حل کړي، او داسې نور. په دې ډول چمتو کولو سره، موږ تمرینونو ته ورسیږو، چیرې چې موږ هرڅه ښه کوو ... په خوښۍ سره، زده کونکي، په ښکاره ډول، فکر کاوه چې په لیکچر کې ناست دي - ډیری وختونه د کړکۍ په لټه کې دي - دمخه سر ته د پوهې ننوتل تضمینوي.

درېدل! د دې څخه بس. زه به خپل ځواب د یوې پوښتنې په اړه بیان کړم چې ما د ماشومانو د ملي وجهي صندوق له ملګرو سره د ټولګي په جریان کې ترلاسه کړ، یوه اداره چې د ټول هیواد له تکړه ماشومانو سره مرسته کوي. پوښتنه (یا بلکه وړاندیز) دا و:

- ایا تاسو کولی شئ موږ ته د غیر حقیقي شمیرو په اړه څه ووایاست؟

"البته،" ما ځواب ورکړ. 

د شمیرو حقیقت

پیتاګورس وویل: "یو ملګری بل زه دی، ملګرتیا د 220 او 284 شمیرو تناسب دی." دلته ټکی دا دی چې د 220 شمیرې د ویشونکو مجموعه 284 ده، او د 284 شمیره د ویشونکو مجموعه 220 ده:

۱+۲+۴+۷۱+۱۴۲=۲۲۰

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

د 220 او 284 شمیرو تر مینځ یو بل په زړه پورې تصادف دا دی: اوولس ترټولو لوی لومړني عددونه 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, او 59.

د دوی مجموعه 2x220 ده، او د مربع مجموعه 59x284 ده.

لومړی. د "حقیقي شمیر" مفهوم شتون نلري. دا لکه د هاتیانو په اړه د یوې مقالې لوستلو وروسته، تاسو پوښتنه کوئ، "اوس موږ د غیر هاتیانو غوښتنه کوو." دلته بشپړ او غیر بشپړ، منطقي او غیر منطقي شتون لري، مګر هیڅ غیر واقعیت نلري. په ځانګړې توګه: هغه شمیرې چې حقیقي نه وي باطل نه بلل کیږي. په ریاضیاتو کې د "شمیرونو" ډیری ډولونه شتون لري، او دوی یو له بل سره توپیر لري، لکه د ژوولوژیکي پرتله کولو لپاره - یو هاتف او د زمزم.

دوهم، موږ به هغه عملیات ترسره کړو چې تاسو دمخه پوهیږئ منع دي: د منفي شمیرو مربع ریښو استخراج. ښه، ریاضي به دا ډول خنډونه له منځه یوسي. که څه هم دا معنی لري؟ په ریاضیاتو کې، لکه د نورو علومو په څیر، آیا یوه تیوري د تل لپاره د پوهې زیرمې ته ننوځي ... د هغې په تطبیق پورې اړه لري. که دا بې ګټې وي، بیا په کثافاتو کې پای ته رسیږي، بیا د تاریخ د علم په ځینو کثافاتو کې. د هغه شمیرو پرته چې زه د دې مقالې په پای کې خبرې کوم، د ریاضیاتو وده ناممکن ده. مګر راځئ چې د ځینو کوچنیو شیانو سره پیل وکړو. ریښتینې شمیرې څه دي، تاسو پوهیږئ. دوی د شمیرې کرښه ډکوي او پرته له تشو څخه. تاسو هم پوهیږئ چې طبیعي شمیرې څه دي: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ……. - دا ټول به حتی د لوی په حافظه کې هم نه وي. دوی یو ښکلی نوم هم لري: طبیعي. دوی ډیری په زړه پوري ملکیتونه لري. تاسو دا څنګه خوښوی:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

کارل لینډن هولم او لیوپولډ کرونیکر (1823-1891) په لنډه توګه وویل: "دا طبیعي شمیره ده چې د طبیعي شمیرو سره علاقه ولري ،" په لنډ ډول وویل: "خدای طبیعي شمیرې رامینځته کړې - نور هرڅه د انسان کار دی!" جزئيات (د ریاضي پوهانو لخوا منطقي شمیرې ویل کیږي) هم حیرانتیاوې لري:

او په مساواتو کې:

تاسو کولی شئ، د کیڼ اړخ څخه پیل کړئ، پلسونه وخورئ او د ضرب نښو سره یې ځای په ځای کړئ - او مساوات به ریښتیا پاتې شي:

او هم

لکه څنګه چې تاسو پوهیږئ، د a/b برخو لپاره، چیرته چې a او b بشپړ دي، او b ≠ 0، دوی وايي منطقي شمېره. مګر یوازې په پولنډ کې دوی ځان ته دا وايي. دوی په انګلیسي، فرانسوي، جرمني او روسي خبرې کوي. منطقي شمېره. په انګلیسي کې: منطقي شمیرې. غیر منطقي شمیرې دا غیر منطقي، غیر منطقي دی. موږ د غیر منطقي تیوریو، نظرونو او عملونو په اړه پولنډي خبرې هم کوو - دا لیونتوب، خیالي، د نه منلو وړ دی. دوی وايي چې ښځې له موږکانو وېرېږي - ایا دا دومره بې منطقه نه ده؟

په پخوانیو وختونو کې، شمیرې یو روح درلود. هر یو یو څه معنی لري، هر یو یو څه سمبول دی، هر یو د کائنات د همغږي یوه ذره منعکس کوي، دا په یوناني کې، کاسموس دی. د "کاسموس" کلمه په سمه توګه معنی لري "حکم، امر". تر ټولو مهم شپږ (کامل شمیره) او لس وو، د پرله پسې شمیرو مجموعه 1+2+3+4، د نورو شمیرو څخه جوړ شوي چې سمبولیزم یې تر نن ورځې پورې ژوندی دی. نو پیتاګورس ښوونه وکړه چې شمیرې د هرڅه پیل او سرچینه ده، او یوازې کشف غیر معقول شمیر د پیتاګورین حرکت د جیومیټری په لور وګرځاوه. موږ د ښوونځي څخه استدلال پوهیږو

√2 بې منطقه شمېره ده

د دې لپاره چې فرض کړئ چې شتون لري: او دا چې دا برخه نشي کم کیدی. په ځانګړې توګه، p او q دواړه عجیب دي. راځئ چې مربع: 2q²=p². د p شمیره طاق نه وي، له هغه وخت راهیسې p² هم به وي، او د مساوي کیڼ اړخ د 2 ضرب دی. له دې امله، p هم دی، یعنی p = 2r، نو p.²= 4r². موږ مساوي 2q کموو²= 4r² موږ q ترلاسه کوو²= 2r² او موږ ګورو چې q باید هم وي، کوم چې موږ فکر کاوه داسې نه ده. پایله تضاد ثبوت بشپړوي - دا فورمول اکثرا د ریاضیاتو په هر کتاب کې موندل کیدی شي. دا حالاتي ثبوت د صوفیانو غوره چل دی.

دا پراخوالی د پیتاګوریانو لخوا نشي پوهیدلی. هر څه باید د شمیرو په واسطه تشریح شي، او د مربع مسیر، کوم چې هر څوک کولی شي د شګو په اوږدو کې د لرګیو سره رسم کړي، نه لري، د اندازه کولو وړ، اوږدوالی. پیتاګوریان داسې ښکاري چې "زموږ باور بې ګټې و." هغه څنګه؟ دا یو ډول دی ... غیر منطقي. اتحادیې هڅه وکړه چې د فرقه ایزو لارو ځان وژغوري. هر هغه څوک چې د خپل وجود د څرګندولو جرات کوي غیر معقول شمیر، باید د مرګ سزا ورکړل شي ، او په ښکاره ډول ، لومړۍ سزا پخپله د ماسټر لخوا ترسره شوې.

مګر "فکر په بې پامۍ سره تیر شو." طلایی زمانه راورسیده. یونانیانو پارس ته ماتې ورکړه (ماراتون ۴۹۰، بلاک ۴۷۹). ډيموکراسي پياوړې شوه، د فلسفي فکر نوي مرکزونه او نوي ښوونځي رامنځته شول. پیتاګوریان لاهم د غیر منطقي شمیرو سره مبارزه کوله. ځینو ویل: موږ به په دې راز پوه نشو؛ موږ کولی شو یوازې په Uncharted کې فکر وکړو او حیران شو. وروستنی ډیر عملی وو او اسرار ته یې درناوی نه کاوه. په هغه وخت کې، دوه ذهني جوړښتونه ښکاره شول چې د غیر منطقي شمیرو پوهیدل یې ممکن کړل. دا حقیقت چې موږ یې نن ورځ په کافي اندازه پوهیږو د ایوډوکس (490 پیړۍ BC) پورې اړه لري ، او دا یوازې د 479 پیړۍ په پای کې و چې الماني ریاضي پوه ریچارډ ډیکینډ د ایډوکسس تیوري د سختو غوښتنو سره سم مناسب پرمختګ ورکړ. ریاضی منطق

د ارقامو ډله ایز یا شکنجه

ایا تاسو د شمیرو پرته ژوند کولی شئ؟ حتی که ژوند به څه وي ... موږ باید پلورنځي ته لاړ شو ترڅو بوټان په لرګیو سره واخلو ، کوم چې موږ دمخه د پښو اوږدوالی اندازه کړی و. "زه مڼې غواړم، هو، دا دی!" - موږ به په بازار کې پلورونکي وښیو. "له موډلین څخه نووی دوور مازوویکي ته څومره لرې دی"؟ "ډیر نږدې!"

شمیرې د اندازه کولو لپاره کارول کیږي. د دوی په مرسته، موږ ډیری نور مفکورې هم بیانوو. د مثال په توګه، د نقشې اندازه ښیي چې د هیواد مساحت څومره کم شوی. د دوه څخه تر یوې پیمانه، یا په ساده ډول 2، دا حقیقت څرګندوي چې یو څه په اندازې کې دوه چنده شوي. راځئ چې په ریاضي ډول ووایو: هر یووالی د یو شمیر سره مطابقت لري - د هغې پیمانه.

دنده. موږ یو زیروګرافیک کاپي جوړه کړه، څو څو ځله عکس لوی کړو. بیا پراخه شوې ټوټه بیا b ځله پراخه شوه. د عمومي لوړولو پیمانه څه ده؟ ځواب: a × b د b سره ضرب شوی. دا ترازو باید ضرب شي. د "منفي یو" شمیره، -1، د یو دقیقیت سره مطابقت لري چې مرکز دی، د بیلګې په توګه 180 درجې ګرځیدلی. کومه شمیره د 90 درجې بدل سره مطابقت لري؟ داسې شمېره نشته. دا دی، دا دی ... یا بلکه، دا به ډیر ژر وي. ایا تاسو اخلاقي شکنجې ته چمتو یاست؟ جرئت وکړئ او د منفي یو مربع ریښه واخلئ. زه اورم؟ تاسو څه نه شی کولی؟ بالاخره، ما تاسو ته وویل چې زړور اوسئ. را وباسه! اې، ښه، کش کړئ، کش کړئ ... زه به مرسته وکړم ... دلته: -1 اوس چې موږ یې لرو، راځئ چې د کارولو هڅه وکړو ... البته، اوس موږ کولی شو د ټولو منفي شمیرو ریښې راوباسئ، د دې لپاره بېلګه:

√-4 = 2√-1√-16 = 4√-1

"پرته له دې چې رواني رنځ ته اړتیا ولري." دا هغه څه دي چې Girolamo Cardano په 1539 کې لیکلي، هڅه یې کوله چې د رواني ستونزو سره تړاو ولري - لکه څنګه چې ژر تر ژره ویل کیږي - خیالي مقدارونه. هغه په ​​دې غور...

...دنده. 10 په دوو برخو وویشئ، چې محصول یې 40 دی. زما په یاد دي چې د تیرې برخې څخه یې یو څه داسې لیکلي وو: یقینا ناممکن. په هرصورت، راځئ چې دا وکړو: 10 په دوه مساوي برخو وویشئ، هر یو یې 5 سره برابر کړئ. دوی یې ضرب کړئ - دا 25 وګرځید. د پایلې 25 څخه، اوس 40 کم کړئ، که تاسو غواړئ، او تاسو -15 ترلاسه کوئ. اوس وګورئ: √-15 له 5 څخه اضافه او کمول تاسو ته د 40 محصول درکوي. دا د 5-√-15 او 5 + √-15 شمیرې دي. د پایلې تایید د کارډانو لخوا په لاندې ډول ترسره شو:

"پرته له دې چې د زړه درد پکې شامل وي، 5 + √-15 د 5-√-15 سره ضرب کړئ. موږ 25 - (-15) ترلاسه کوو، کوم چې د 25 + 15 سره مساوي دی. نو محصول 40 دی ... دا واقعیا ستونزمنه ده."

ښه، څومره دی: (1 + √-1) (1-√-1)؟ راځئ چې ضرب کړو. په یاد ولرئ چې √-1 × √-1 = -1. غوره. اوس یو ډیر ستونزمن کار: له a + b√-1 څخه ab√-1 ته. څه پېښ شوي دي؟ البته، لکه: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

په دې اړه څه په زړه پورې دي؟ د مثال په توګه، دا حقیقت چې موږ کولی شو د بیانونو فکتور وکړو چې موږ "مخکې نه پوهیږو." لپاره لنډیز ضرب فارمول²-b² ایا تاسو د دې لپاره فارمول په یاد لرئ²+b² دا نه وه، ځکه چې دا نه شي کیدی. د ریښتیني شمیرو په ډومین کې، پولینومیل²+b² دا د نه منلو وړ ده. راځئ چې "زموږ" د "منفي یو" مربع ریښه د i لیک سره وټاکو.²=-1. دا یو "غیر حقیقي" اصلي شمیره ده. او دا هغه څه دي چې د الوتکې د 90 درجې بدلون بیانوي. ولې؟ وروسته له هر څه،²= -1، او د یو 90 درجې گردش او بل 180 درجې گردش یوځای کول د 45 درجې گردش ورکوي. کوم ډول گردش تشریح کیږي؟ په ښکاره ډول د XNUMX درجې بدلون. -زه څه ته وايي؟ دا یو څه ډیر پیچلی دی:

(-زه)² = -i × (-i) = +i² =-۴۰

نو -i د 90 درجې گردش هم بیانوي، یوازې د i د گردش په مخالف لوري کې. کوم یو کیڼ دی او کوم یو سم دی؟ تاسو باید یو وخت وخت ونیسئ. موږ ګومان کوو چې هغه شمیره چې زه یې په سمت کې څرخي چې ریاضي پوهان یې مثبت ګڼي: د ساعت په مقابل کې. شمیره -i په هغه لوري کې گردش تشریح کوي چې اشاره کونکي حرکت کوي.

مګر ایا د i او -i په څیر شمیر شتون لري؟ دي! موږ یوازې دوی ژوند ته راوړو. زه اورم؟ دا چې دوی یوازې زموږ په سر کې شتون لري؟ ښه د څه تمه؟ نور ټول شمیر هم یوازې زموږ په ذهن کې شتون لري. موږ باید وګورو چې ایا زموږ د نوي زیږیدلي شمیر ژوندي پاتې کیږي. په دقیق ډول، ایا ډیزاین منطقي دی او ایا دوی به د یو څه لپاره ګټور وي. مهرباني وکړئ زما خبره د دې لپاره واخلئ چې هرڅه سم دي او دا نوې شمیرې واقعیا ګټورې دي. شمیرې لکه 3+i، 5-7i، په عمومي ډول: a+bi پیچلي شمیرې بلل کیږي. ما تاسو ته وښودله چې تاسو څنګه کولی شئ د الوتکې په ګرځولو سره ترلاسه کړئ. دوی په مختلفو لارو داخل کیدی شي: په الوتکه کې د نقطو په توګه، د ځینې پولینومیالونو په توګه، د یو شمیر شمیري صفونو په توګه ... او هر ځل دوی ورته وي: مساوات x² +1=0 هیڅ عنصر شتون نلري ... هوکس پوکس لا دمخه شتون لري!!!! راځئ چې خوښ او خوشحاله کړو !!!

د سفر پای

دا د جعلي شمیرو هیواد ته زموږ لومړی سفر پای ته رسوي. د نورو ناڅرګندو شمیرو څخه، زه به هغه شمیر هم ذکر کړم چې په مخ کې د لامحدود عددونو شمیر لري، او شاته نه (هغوی ته 10-adic ویل کیږي، زموږ لپاره p-adic ډیر مهم دي، چیرته چې p لومړنۍ شمیره ده) لپاره. مثال X = …… … 96109004106619977392256259918212890625

راځئ چې د ایکس حساب وکړو². لکه؟ که موږ د عددونو مربع محاسبه کړو او بیا د لامحدود عددونو حساب وکړو؟ ښه، راځئ چې همداسې وکړو. موږ پوهیږو چې x² = ایکس.

راځئ چې یو بل داسې عدد پیدا کړو چې په مخ کې د لامحدود عددونو سره وي چې معادل پوره کوي. اشاره: د هغه عدد مربع چې په شپږ پای ته رسیږي هم په شپږ پای ته رسیږي. د یو عدد مربع چې په 76 پای ته رسیږي هم په 76 پای ته رسیږي. د یوې عدد مربع چې په 376 پای ته رسیږي هم په 376 پای ته رسیږي. د هغه عدد مربع چې په 9376 پای ته رسیږي هم په 9376 پای ته رسیږي. د هغه عدد مربع چې په XNUMX پای ته رسیږي. په XNUMX… داسې شمیرې هم شتون لري چې دومره کوچنۍ دي چې مثبت وي، دوی د نورو مثبتو شمیرو څخه کوچني پاتې کیږي. دوی دومره کوچني دي چې ځینې وختونه د صفر ترلاسه کولو لپاره د مربع کولو لپاره کافي وي. داسې شمیرې شتون لري چې شرط نه پوره کوي a × b = b × a. لامحدود شمیر هم شتون لري. څومره طبیعي شمیرې شتون لري؟ بې حده ډیری؟ هو، مګر څومره؟ دا څنګه د شمیرې په توګه بیان کیدی شي؟ ځواب: د لامحدود شمېرو تر ټولو کوچنی؛ دا د ښکلي لیک سره نښه شوی: A او د صفر شاخص A سره ضمیمه شوی₀ , aleph-صفر.

داسې شمیرې هم شتون لري چې موږ نه پوهیږو شتون لري ... یا دا چې تاسو کولی شئ باور وکړئ یا کفر وکړئ لکه څنګه چې تاسو خوښ یاست. او د ورته په اړه خبرې کول: زه امید لرم چې تاسو لاهم غیر ریښتیني شمیرې ، د خیالي ډولونو شمیرې خوښوي.